1.
∵f(X1)+f(X2)=2f{(X1+X2)/2}f{(X1-X2)/2},令X2=X1,得
2f(X1)=2f(X1）f(0),即有f(X1)[1－f(0)]=0
又∵对任意实数x1上式都成立
∴1－f(0)=0
∴f(0)=1
2.
令X1=X,X2=-X,则有
f(X)+f(-X)=2f(0)f(X）
∵f(0）=1,∴f(-X)=f(X）
∴f(x)是偶函数
再令X1=∏-X,X2=X,则有
f(∏-X)+f(X)=2f(∏/2）f{(∏-2X)/2}
∵f(π/2)=0,∴f(∏-X)+f(X)=0即有
f(π-x)=-f(x)