>>>>能不能说无限维空间中任意无穷个线性无关的向量都可以去做基?
绝对不可以.
一个反例是,用Q表示有理数域,考虑可数个 Q 的copy 的直积,
V = Q ×Q×.
用 e_i 表示只有第i坐标为1,其余都是零的 V 的元.那么
{e_i ,i =1,2,.}
是V的一个线性无关的子集,但不是V的基.例如元素
(1,1,1,1,1,1.)
不能写成{e_i}的线性组合.事实上{e_i}在V中生成的子空间是Q的可数重直和
Q⊕Q⊕.
它是V的一个真(proper)子空间.
(注记)
1) 无穷维的向量空间已有研究,在泛函分析中很常见.但是我没有学过.
2) 上面的V的维数其实已经大于"可数势",所以显然V的可数子集 {e_i ,i =1,2,.} 不是基.
但是即使我们从V中取到线性无关的子集X,使它的势与dim(V)相等,仍然不能结论X是基.例如,选定无穷维向量空间 V 的一个基 B ,因为 B 是无穷集合,可以取到一个与 B 等势的真子集 B' ,但是 B' 一定不是V的基.