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数学
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已知抛物线x
2
=4y的焦点为F,经过F的直线与抛物线相交于A、B两点,则以AB为直径的圆在x轴上所截得的弦长的最小值是______.
人气:249 ℃ 时间:2019-11-08 16:24:04
解答
由题意,设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则A,B到准线的距离和为y
1
+y
2
+2,|AB|=y
1
+y
2
+2
∴以AB为直径的圆的圆心到x轴距离为
y
1
+
y
2
2
设直线AB的方程为:y=kx+1,代入抛物线x
2
=4y可得x
2
-4kx-4=0
∴x
1
+x
2
=4k
∴
y
1
+
y
2
=4
k
2
+2
∴以AB为直径的圆在x轴上所截得的弦长为
2
(
y
1
+
y
2
+2
2
)
2
−
(
y
1
+
y
2
2
)
2
=
12+16
k
2
∴k=0时,以AB为直径的圆在x轴上所截得的弦长的最小值是
2
3
故答案为:
2
3
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