已知直线l:x+y=8,点F1(—4,0)、F2(4,0),在l上取一点M,过M以F1、F2为焦点作椭圆.
问M在何处时,椭圆的长轴最短,并求出此时椭圆的方程.
人气:486 ℃ 时间:2020-03-29 21:17:45
解答
做F2(4,0)关于直线x+y=8的对称点A(m,n),连接F1A,与直线x+y=8的交点即为满足条件的M,
F2A的中点坐标为:(2+m/2,n/2),其在x+y=8上,代入有:
2+m/2+n/2=8,∴m+n=12 ①
又F2A与直线x+y=8垂直,则F2A的斜率k=1,即n/(m-4)=1,∴n=m-4 ②
联立①、②得m=8,n=4,即A(8,4),
∴F1A的直线方程为:x-3y+4=0,联立其与x+y=8,解得x=5,y=3,即M(5,3),
此时椭圆的长轴长2a=|F1A|=4√10
∴a=2√10,
∴a²=40,又c=4,∴b²=a²-c²=40-16=24
∴椭圆方程为:x²/40+y²/24=1
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