三角形ABC中,角BAC=90,AB=AC,M为形内一点,恰满足BA=BM,AM=CM,试求角ABM的度数
请自己画
初二丛书p10三大题,
人气:149 ℃ 时间:2019-10-17 04:01:11
解答
过程挺复杂,需要用到余弦定理,推导过程如下:
首先设PA=a,PB=b,PC=c,
则BC=b+c.
因为是等腰直角三角形,可设AB=AC=R,则
BC=根号2R
所以b+c=根号2R. (1式)
因为,根据已知条件定理,角BPA+角APC=180°
所以,根据三角函数定理,CosBPA=-CosAPC,
所以,根据余弦定理,以及所设的AB、AC、BC等边,可得如下式子:
(a方+c方-R方)/2ac=-(a方+b方-R方)/2ab,
由此化简后,可得
a方=R方-bc (2式)
根据1式,R=(b+c)/根号2 (3式)
将3式代入2式,得
a方=〔(b+c)/根号2〕方-bc
a方=1/2*(b+c)方-bc
再化简,得
a方=1/2(b方+c方)+bc-bc
a方=1/2(b方+c方)
即
PA方=1/2(BP方+PC方) 得证.
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