连接BE，与AD交于点M．则BE就是EM+CM的最小值．
取CE中点F，连接DF．
∵等边△ABC的边长为12，AE=4，
∴CE=AC-AE=12-4=8，
∴CF=EF=AE=4，
又∵AD是BC边上的中线，
∴DF是△BCE的中位线，
∴BE=2DF，BE∥DF，
又∵E为AF的中点，
∴M为AD的中点，
∴ME是△ADF的中位线，
∴DF=2ME，
∴BE=2DF=4ME，
∴BM=BE-ME=4ME-ME=3ME，
∴BE=

4

3

BM．
在直角△BDM中，BD=

1

2

BC=6，DM=

1

2

AD=3

3

，
∴BM=

BD2+DM2

=3

7

，
∴BE=4

7

．
∵EM+CM=BE，
∴EM+CM的最小值为4

7

．
故答案为：4

7

．