由2的次方÷7的余数是2，4，1循环的可得：
2003÷3=667…2，所以2²⁰⁰³÷7的余数是4；
因为2003×2003=4012009，
4012009÷7余1，即2003²÷7余1，
所以2²⁰⁰³与2003²的和除以7的余数是1+4=5，
故答案为：5．