函数
f(x)=log9(x+8−)在[1,+∞)上是增函数,求a的取值范围.
人气:124 ℃ 时间:2020-06-05 13:33:22
解答
∵函数
f(x)=log9(x+8−)在[1,+∞)上是增函数,
∴对任意的1≤x
1<x
2,有f(x
1)<f(x
2),
即
log9(x1+8−)<log9(x2+8−),
得
x1+8−<x2+8−,即
(x1−x2)(1+)<0,
∵x
1-x
2<0,∴
1+>0,
>−1,a>-x
1x
2,
∵x
2>x
1≥1,∴要使a>-x
1x
2恒成立,只要a≥-1;
又∵函数
f(x)=log9(x+8−)在[1,+∞)上是增函数,∴1+8-a>0,
即a<9,综上a的取值范围为[-1,9).
另(用导数求解)令
g(x)=x+8−,
函数
f(x)=log9(x+8−)在[1,+∞)上是增函数,
∴
g(x)=x+8−在[1,+∞)上是增函数,
g′(x)=1+,
∴1+8-a>0,且
1+≥0在[1,+∞)上恒成立,得-1≤a<9.
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