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如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BF平分∠ABC,CD⊥AB于点D,与BF交于点G,GE∥AC.求证:CE与FG互相垂直平分.
人气:487 ℃ 时间:2019-08-17 20:33:05
解答
证明:延长EG交BC于点K.
∵GE∥AC,∠ACB=90°,
∴∠BKE=∠ACB=90°,即EK⊥BC.
又∵CD⊥AB,BF平分∠ABC,
∴GK=GD.
在Rt△GKB与Rt△GDB中,
GK=GD
BG=BG

∴Rt△GKB≌Rt△GDB(HL),
∴DB=BK.
在△CBD与△EBK中,
∠CBD=∠EBK
BD=BK
∠CDB=∠EKB

∴△CBD≌△EBK(ASA),
∴BC=BE,
∴BF垂直平分CE(三合一).
∴CO=EO,
在△COF与△EOG中,
∠FCO=∠GEO
CO=EO
∠COF=∠OG

∴△COF≌△EOG(ASA)
∴FC=GE,
又∵GE∥AC.
∴四边形FCGE为平行四边形,
∵CG=GE,
∴四边形FCGE为菱形,
∴CE与GF互相垂直平分.
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