（1）线段AB长度的最小值为4,
理由如下：
连接OP,
因为AB切⊙O于P,
所以OP⊥AB,
取AB的中点C,
则AB=2OC；
当OC=OP时,OC最短,
即AB最短,
此时AB=4；
（2）设存在符合条件的点Q,
如图①,设四边形APOQ为平行四边形；
因为∠APO=90°,
所以四边形APOQ为矩形,
又因为OP=OQ,
所以四边形APOQ为正方形,
所以OQ=QA,∠QOA=45°；
在Rt△OQA中,根据OQ=2,∠AOQ=45°,
得Q点坐标为（ 2,- 2）；
如图②,设四边形APQO为平行四边形；
因为OQ∥PA,∠APO=90°,
所以∠POQ=90°,
又因为OP=OQ,
所以∠PQO=45°,
因为PQ∥OA,
所以PQ⊥y轴；
设PQ⊥y轴于点H,
在Rt△OHQ中,根据OQ=2,∠BQO=45°,
得Q点坐标为（- 2, 2）．
所以符合条件的点Q的坐标为（ 2,- 2）或（- 2, 2）．