两边同时平方使得数的范围扩大,出现增根.
这题如果用代数方程的根去分析,将会特别复杂,要考虑的情况比较多,分类麻烦.
应该用数形结合来做,这也是出题者的本意.
左边 y=√(2x+1) 是开口向右的抛物线的上半部分,顶点 A（-1/2,0）,
右边 y=x+m 是斜率为 1 的直线,在 y 轴上的截距为 m .
可以看出,当直线过A时,它们有两个交点,此时 m= 1/2 ；
上移直线,仍有两个交点,
当直线与抛物线相切时,只有一个交点,此时 二次方程 2x+1=(x+m)^2 有唯一实根,
因此判别式=(2m-2)^2-4(m^2-1)=0 ,解得 m= 1 ；
所以,所求的 m 的取值范围是 [-1/2,1）.（即 -1/2分母有未知数的方程时，解得的未知数使分母为0，方程无意义，则此根为增根。怎么会出现增根？还有范围为什么会扩大？解无理方程或不等式时，如果两边贸然平方，则有可能使解集扩大而出现错误。如 √(x+2)= -x ，两边平方得 x^2=x+2 ，则 x= -1 或 2 ，这个 2 就是增根。如 √(x+2)< -x ，两边平方得 x+22 ，而实际上，该不等式的解集是 -2<=x<-1 。范围扩大的原因是：原来没有 -2=2 的式子，结果平方后满足了。