四边形ABCD内接于圆O,且AC⊥BD,AC与BD交于E,求证：AB^2+CD^2=BC^2+AD^2=定值_数学解答

四边形ABCD内接于圆O,且AC⊥BD,AC与BD交于E,求证：AB^2+CD^2=BC^2+AD^2=定值

人气：419 ℃　时间：2020-05-21 23:53:08

解答

这个定值就是直径的平方
做直径CF,连接AF,BF,设⊙O 的半径为R
∵CE为⊙O的直径
∴∠EAC=90°∠CBF=90°
∵AC⊥BD
∴EA‖BD
∴弧AD=弧BE
∴AD=BE
在Rt△BFC中,BC^2+BF^2=CF^2=4R^2
∴BC^2+AD^2=CF^2=4R^2
同理可证：AB^2+CD^2=4R^2