已知函数f(x)的定义域为R,且对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+1/2,且f(1/2)=0,当x>1/2时,_数学解答

已知函数f(x)的定义域为R,且对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+1/2,且f(1/2)=0,当x>1/2时,f(X)>0
1)求f(1)+f(2)+……f(n)(n∈N*)
2)判断函数f(x)的单调性并证明

人气：142 ℃　时间：2019-08-26 07:01:04

解答

(1)由已知可得：f(1)=f(1/2+1/2)=2f(1/2)+1/2=1/2
f(2)=f(1+1)=2f(1)+1/2=3/2
.
f(n)=f(n-1+1)=f(n-1)+f(1)+1/2=f(n-1)+1
即：f(n)-f(n-1)=1
f(1)、f(2)...f(n)(n∈N*)是以f(1)=1/2为首项的1为公差的等差数列
所以,f(1)+f(2)+……f(n)＝n^2/2