第一个问题：
∵椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,∴可设椭圆的方程为：x^2/a^2＋y^2/b^2＝1.
由抛物线方程y＝（1/4）x^2,得：x^2＝4y,∴抛物线的焦点坐标是（0,1）.
∵椭圆x^2/a^2＋y^2/b^2＝1的一个顶点B是点（0,1）,∴b＝1.
∵e＝c/a＝√2/2,∴2c＝√2a,∴2c^2＝a^2,∴2（a^2－b^2）＝a^2,∴a^2＝2b^2＝2.
∴椭圆方程是：x^2/2＋y^2＝1.
第二个问题：
假设存在满足条件的直线l.
由椭圆方程x^2/2＋y^2＝1,得：c＝√（2－1）＝1,∴点F的坐标是（1,0）.
∴BF的斜率＝（1－0）/（0－1）＝－1.
∵F是△BMN的垂心,∴BF⊥MN,∴MN的斜率为1,∴可设MN的方程为：y＝x＋m.
联立：y＝x＋m、x^2/2＋y^2＝1,消去y,得：x^2/2＋（x＋m）^2＝1,
∴x^2＋2x^2＋4mx＋2m^2＝1,∴3x^2＋4mx＋2m^2－1＝0.
∵点M、N都在直线y＝x＋m上,∴可设点M、N的坐标分别为（p,p＋m）、（q,q＋m）.
显然,p、q是方程3x^2＋4mx＋2m^2－1＝0的两根,∴由韦达定理,有：
p＋q＝－4m/3、pq＝（2m^2－1）/3.
很明显,有：
向量FM＝（p－1,p＋m）、向量BN＝（q,q＋m－1）.
∵F是△BMN的垂心,∴FM⊥BN,∴向量FM·向量BN＝0,
∴（p－1）q＋（p＋m）（q＋m－1）＝0,∴pq－q＋pq＋pm－p＋qm＋m^2－m＝0,
∴2pq－（p＋q）＋m（p＋q）＋m^2－m＝0,
∴2［（2m^2－1）/3］＋4m/3－4m^2/3＋m^2－m＝0,
∴4m^2－4＋4m－4m^2＋3m^2－3m＝0,∴3m^2＋m－4＝0,∴（3m＋4）（m－1）＝0,
∴m＝－4/3,或m＝1.
当m＝1时,y＝x＋1过点B（0,1）,∴此时△BMN不存在,∴这种情况应舍去.
∴m＝－4/3.
∴满足条件的直线l的方程是：y＝x－4/3,即：3x－3y－4＝0.