答：
y=√(ax^2+3ax+1)的定义域为实数范围R
所以：ax^2+3ax+1>=0恒成立
1）a=0时,0+0+1>=0恒成立,符合题意
2）a<0时,抛物线g(x)=ax^2+3ax+1开口向下,总存在x使得g(x)<0,不符合
3）a>0时,抛物线g(x)=ax^2+3ax+1>=0开口向上,恒在x轴上方
与x轴最多有一个交点,所以：
判别式=(3a)^2-4a<=0,9a^2-4a<=0,0<=a<=4/9
综上所述,0<=a<=4/99a²-4a≤0怎么解9a^2-4a<=0(9a-4)a<=0a=0或者a=4/9所以：0<=a<=4/9