（Ⅰ）∵a＞0，∴所以抛物线开口向上且对称轴为x=1．
∴函数f（x）在[2，3]上单调递增．
由条件得

f(2)＝2 f(3)＝5

，即

2+b＝2 3a+2+b＝5

，解得a=1，b=0．　
故a=1，b=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=1，b=0．
∴f（x）=x²-2x+2，从而g（x）=x²-（m+3）x+2．       
①若g（x）在[2，4]上递增，则对称轴x＝

m+3

2

≤2，解得m≤1；
②若g（x）在[2，4]上递减，则对称轴x＝

m+3

2

≥4，解得m≥5，
故所求m的取值范围是m≥5或m≤1．