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已知函数f(x)的图象关于原点对称,并且当x>0时,f(x)=x
2
-2x+3,试求f(x)在R上的表达式,并画出它的图象,根据图象写出它的单调区间.
人气:143 ℃ 时间:2019-10-19 21:42:59
解答
∵f(x)的图象关于原点对称,
∴f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).
又f(x)在R上,∴f(0)=-f(0),解得f(0)=0.
设x<0,则-x>0,
∵当x>0时,f(x)=x
2
-2x+3,
∴f(-x)=(-x)
2
-2(-x)-3=x
2
+2x+3=-f(x)
∴f(x)=-x
2
-2x-3 于是有
f(x)=
x
2
−2x+3
0
−
x
2
−2x−3
(x>0)
(x=0)
(x<0)
图象如图所示,
由图象可知,函数的单调增区间为(-∞,-1),(1,+∞);单调减区间为(-1,0),(0,1).
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