解法1：∵a³+3a²+3a+2=0
∴（a+1）³+1=0
∴（a+1）³=-1
∴a+1=-1
∴（a+1）¹⁹⁹⁶+（a+1）¹⁹⁹⁷+（a+1）¹⁹⁹⁸=1+（-1）+1=1．
解法2：∵（a+1）²=a²+2a+1，
即a（a+1）²=a³+2a²+a，
解得：a³=a（a+1）²-2a²-a，
代入到a³+3a²+3a+2=0中得：a（a+1）²+（a+1）²+1=0，
即（a+1）³=-1，开立方得：a+1=-1，解得a=-2，
把a=-2代入得：（a+1）¹⁹⁹⁶+（a+1）¹⁹⁹⁷+（a+1）¹⁹⁹⁸=1+（-1）+1=1．
故答案为1．