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数学
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在直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,AB
1
⊥BC
1
,CA
1
⊥BC
1
.求证:AB
1
=CA
1
.
人气:302 ℃ 时间:2020-09-30 22:08:15
解答
证明 以A为原点,AC为x轴,AA
1
为z轴建立空间直角坐标系.
设B(a,b,0),C(c,0,0),A
1
(0,0,d),
则B
1
(a,b,d),C
1
(c,0,d),
A
B
1
=(a,b,d),
B
C
1
=(c-a,-b,d),
C
A
1
=(-c,0,d),
由已知
A
B
1
•
B
C
1
=ca-a
2
-b
2
+d
2
=0,
C
A
1
•
B
C
1
•
BC1
=-c(c-a)+d
2
=0,可得c
2
=a
2
+b
2
.
再由两点间距离公式可得:
|AB
1
|
2
=a
2
+b
2
+d
2
,|CA
1
|
2
=c
2
+d
2
=a
2
+b
2
+d
2
,
∴AB
1
=CA
1
.
推荐
把两条异面直线称作“一对”,在正方体的十二条棱中,异面直线的对数为_.
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