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已知二次函数f(x)=ax
2
+bx(a、b为常数且a≠0)满足条件:f(-x+5)=f(x-3),且方程f(x)=x有等根.
(1)求f(x)的解析式;
(2)函数f(x)在(x∈[t,t+1],t∈R)的最大值为u(t),求u(t)解析式.
人气:461 ℃ 时间:2019-08-18 22:51:36
解答
(1)∵f(-x+5)=f(x-3),∴函数的对称轴为x=1,即
−
b
2a
=1
∵方程f(x)=x有等根,∴△=(b-1)
2
=0
∴b=1,a=-
1
2
∴
f(x)=−
1
2
x
2
+x
.
(2)∵
f(x)=−
1
2
x
2
+x
的开口向下,对称轴为x=1
∴当t≥1时,函数f(x)在[t,t+1]上为减函数,最大值为u(t)=f(t)=-
1
2
t
2
+t
当0<t<1时,函数f(x)最大值为u(t)=f(1)=
1
2
当t≤0时,函数f(x)在[t,t+1]上为增函数,最大值为u(t)=f(t+1)=-
1
2
t
2
+
1
2
∴
u(t)=
−
1
2
t
2
+t (t≥ 1)
1
2
−
1
2
t
2
+
1
2
(t≤ 0)
(0<t<1)
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