（1）证明：连接AD
∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点
∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠DAQ=∠B，
在△BPD和△AQD中，

BD＝AD ∠DBP＝∠DAQ BP＝AQ

，
∴△BPD≌△AQD（SAS），
∴PD=QD，∠ADQ=∠BDP，
∵∠BDP+∠ADP=90°
∴∠ADP+∠ADQ=90°，即∠PDQ=90°，
∴△PDQ为等腰直角三角形；
（2）当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形；理由如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠B=∠C=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
当P为AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD=90°，
又∵∠A=90°，∠PDQ=90°，
∴四边形APDQ为矩形，
又∵DP=AP=

1

2

AB，
∴矩形APDQ为正方形（邻边相等的矩形为正方形）．