一个整数的平方被4除余数一定是0或者1.事实上,如果整数x是偶数,那么显然x^2可以被4整除；如果x是奇数,则存在整数k使得 x=2k+1,因此 x^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1 被4除余1,这也就是一个整数的平方被4除余数一定是0或1.
现在 x^2+y^2=2008,因为2008能被4整除,所以x,y均为偶数(否则比较等式两边被4除的余数即得矛盾),这样可以设
x=2m,y=2n,m,n均为正整数.此时原方程化为 (2m)^2+(2n)^2=2008,两边约去4即得：m^2+n^2=251 (1)
但是251被4除余数是3,同样的方法进行讨论可知两个正整数的平方和被4除的余数只能为 0,1 或者2,因此等式两边被4除的余数不等,故不存在这样的整数m,n使得方程(1)成立,从而原方程也不存在正整数解.