n是任意自然数,求证4不能整除n^2+2 考虑n分别是奇数/偶数事的情况
n是奇数的时候很显然n^2+2是奇数不能被4整除,偶数的时候呢?
可以用反证法嘛?假设4能整除n^2+2,设n^2+2=4k,则n=√4k-2 k是正整数,观察得不是所有的k 能使n 为自然数,与题设矛盾,故命题得证。
人气:109 ℃ 时间:2019-08-20 21:17:02
解答
用反证法来证明
证明:假设4能整除n²+2 ,则可设n²+2=4k(K为整数)
1、若n为奇数,可设n=2m-1 (m为整数)
代入n²+2=4k得4m²-4m+3=4k
即4k-4m²+4m=3
此式左边是偶数,右边是奇数,所以式子4k-4m²+4m=3不成立
与假设矛盾.
2、若n为偶数,可设n=2m (m为整数)
代入n²+2=4k得4m²+2=4k
即4k-4m²=2
即2k-2m²=1
此式左边是偶数,右边是奇数,所以式子2k-2m²=1不成立
与假设矛盾.
综上所述:无论n为任何自然数,4不能整除n²+2像我那样证可以吗?假设4能整除n^2+2,设n^2+2=4k, 则n=√4k-2k是正整数,观察得不是所有的k 能使n 为自然数,与题设矛盾,故命题得证。这个证明不能说明问题。证明题不能用观察。
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