已知a是实数，函数f（x）=x2（x-a）．（Ⅰ）若f′（1）=3，求a的值及曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（_数学解答

已知a是实数，函数f（x）=x²（x-a）．
（Ⅰ）若f′（1）=3，求a的值及曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，2]上的最大值．

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解答

（I）f'（x）=3x²-2ax．因为f'（1）=3-2a=3，所以a=0．
又当a=0时，f（1）=1，f'（1）=3，则切点坐标（1，1），斜率为3
所以曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y-1=3（x-1）化简得3x-y-2=0．
（II）令f'（x）=0，解得x1＝0，x2＝

．
当

≤0，即a≤0时，f（x）在[0，2]上单调递增，从而f_max=f（2）=8-4a．
当

≥2时，即a≥3时，f（x）在[0，2]上单调递减，从而f_max=f（0）=0．
当0＜

＜2，即0＜a＜3，f（x）在[0，

]上单调递减，在[

，2]上单调递增，从而fmax＝

8−4a，0＜a≤2.

0，2＜a＜3.

综上所述，fmax＝

8−4a，a≤2.

0，a＞2.