已知函数f(x)=loga(x)和g(x)=2loga(2x+t-2),(a>0,a≠1,t∈R)的图像在x=2处的切线互相平行._数学解答

已知函数f(x)=loga(x)和g(x)=2loga(2x+t-2),(a>0,a≠1,t∈R)的图像在x=2处的切线互相平行.
（1）求t的值
（2）设F(x)=g(x)-f(x),当x∈[1,4]时,F(x)≥2恒成立,求a的取值范围
注：a为log底数

人气：487 ℃　时间：2019-11-21 11:49:21

解答

f(x)'=1/(x*lna)
g(x)'=(2*2)/[(2x+t-2)*lna]
当x=2时,f(x)'=1/2lna
g(x)'=4/(2+t)lna
所以1/2=4/(2+t) ,t=6
g(x)=2loga(2x+4)
F(x)=2loga(2x+4)-loga(x)=2loga[(2x+4)/x]=2loga[2+(4/x)]
因为在x∈[1,4],3≤2+（4/x）≤6
又由F(x))≥2恒成立,知,a>1
所以loga(t)是增函数
只需loga(t)的最小值大于等于2,最小值在 2+（4/x）=3 处取得.
所以2loga(3)≥2 ,loga(3)≥loga(a)
所以a≤3
综上 1