函数的达人进
已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+2)=-f(x). (1)求证:f(x)是周期函数; (2)若f(x)为奇函数,且当0≤x≤1时,f(x)=12x,求使f(x)=-12在[0,2010]上的所有x的个数.
人气:222 ℃ 时间:2020-06-10 23:01:26
解答
(1)证明:∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),
∴f(x)是以4为周期的周期函数.
(2)当0≤x≤1时,f(x)=12x,
设-1≤x≤0,则0≤-x≤1,∴f(-x)=12(-x)=-12x.∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴-f(x)=-12x,即f(x)=12x.故f(x)=12x(-1≤x≤1)
又设1
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