已知数列{an}，其中a1=1，an=3n-1•an-1（n≥2，n∈N），数列{bn}的前n项和Sn＝log3(an9n)其中n_数学解答

已知数列{a_n}，其中a₁=1，a_n=3^n-1•a_n-1（n≥2，n∈N），数列{b_n}的前n项和Sn＝log3(

)其中n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的通项公式；
（3）求T_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|．

人气：482 ℃　时间：2019-10-23 10:27:22

解答

（1）因为a_n=3^n-1•a_n-1（n≥2，n∈N），
所以log₃a_n=log₃a_n-1+（n-1），
a_n=3^n-1•a_n-1（n≥2，n∈N），累加得log3an-log3a1=1+2+3+…+(n-1)=

n(n-1)

，
∴log3an=

n(n-1)

，则an=3

n(n-1)

（2）

而b1=S1=-2，当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=n-3，n=1时也适合，

所以数列{bn}的通项公式为bn=n-3(n∈N*)

(3)当bn=n-3≤0，即n≤3时，Tn=-Sn=

5n-n2

，

当bn=n-3＞0，即n＞3时，

Tn=|b1|+|b2|+…+|bn|=(b1+b2+…+bn)-(b1+b2+b3)=Sn-2S3=

n2-5n+12

，综上所述Tn=

5n-n2

(n≤3，且n∈N*)

n2-5n+12

(n＞3，且n∈N).