如图,直三棱柱ABC-A
1B
1C
1中,∠ACB=90°,M,N分别为A
1B,B
1C
1的中点.
(1)求证BC∥平面MNB
1.
(2)当AC=AA
1时,求证:平面MNB
1⊥平面A
1CB.
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解答
证明:∵BC∥B1C1,且B1C1⊂平面MNB1,BC⊄平面MNB1,
∴BC∥平面MNB1;
(2)连接AC1,由AC=AA1,得四边形ACC1A1是正方形
∴AC1⊥A1C,
直三棱柱中CC1⊥平面ABC,
∴CC1⊥BC,
又BC⊥AC
∴BC⊥平面ACC1A1,
∴BC⊥AC1.
∵A1C∩BC=C
∴AC1⊥平面A1BC
连接AB1,则A1B与AB1的交点即为AB1的中点M,
又∵N是B1C1的中点,
∴MN∥AC1,
∴MN⊥平面A1BC且MN⊂B1MN
∴平面MNB1⊥平面A1CB.
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