在Rt三角形ABC中,角ACB平分线交对边于点E,交斜边上的高AD于G,过G作FG平行于CB交AB于F.求证:AE=BF
人气:259 ℃ 时间:2019-10-19 08:07:49
解答
因为FG‖CB所以AG⊥FG且∠GFA=∠B
又∠GFA=∠CAB=直角
所以△AGF∽△CAB
所以CB/AF=AC/AG
又因为CE是∠ACB的平分线
所以CB/BE=AC/AE
在RT△CAE中,∠CEA=90°-∠ACE
在RT△CDG中,∠CGD=90°-∠GCD
因为CE是∠ACB的平分线所以∠ACE=∠GCD
所以∠CEA=∠CGD
因为∠CGD和∠AGE是对顶角,所以相等
所以∠CEA=∠AGE
所以△AGE是等腰三角形,所以AG=AE
因为CB/AF=AC/AG(由上面相似三角形得到的等式)
所以CB/AF=AC/AE
又因为CB/BE=AC/AE(由上面角平分线定理得到的等式)
所以AF=BE
所以AF-EF=BE-EF
所以AE=BF
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