A、顺次连接平行四边形的四边中点得到的四边形是平行四边形，平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故正确；
B、顺次连接矩形的四边中点得到的四边形是菱形，菱形是轴对称图形，是中心对称图形，故错误；
C、顺次连接菱形的四边中点得到的四边形是矩形，矩形是轴对称图形，是中心对称图形，故错误；
D、顺次连接等腰梯形的四边中点得到的四边形是菱形，菱形是轴对称图形，是中心对称图形，故错误．
故选A．