楼主说得也对,所有的运算都是一步一步地推广,从 Special Case (特殊情况) 到 General Case (一般情况).要将“微积分”的意思、能解决的问题讲得全面,需要写一本厚厚的大部头巨著.下面做一个简要的说明：
1、微分的“微”,是细小、分割、分割得很细小的意思；积分的“积”是累计、合计、求和的意思.
2、初等数学所解决的都是规则性的问题,任意形状的面积、体积都是无法计算的.变化的力、加速度、速度、位移之间的一般关系；温度变化与热量的传输；变化的力做功；带电体周围的电场强度分布、电势分布；转动物体的质量分布对转动的影响；.这些都是初等数学无法解决的,必须要用微积分的方法才能进行一般性地计算.
3、微分的简单说法,就是计算相关变化率、牵连变化率一类的问题,思想方法上可以概括成：分割、求比、取极限；几何意义是从求割线的斜率过渡到切线的斜率.积分的基本思想可以概括成：分割、求和、取极限.几何意义就是微元面积之和.
4、微积分的应用无所不在,物理、化学、生物、地质、气象、海洋、水文、天文、电子、电脑、电机、机械、化工、冶炼.中运用不在话下,在经济、金融、财会、管理.也有着极其广泛的应用.可以说,没有微积分,就没有现代科技；不懂微积分,就不知道最基本的数理逻辑.
楼主如有兴趣,本人愿意提供其他具体讲解.如果楼主英文感兴趣,本人愿意同时提供英文解说.