△ABC是直角三角形,∠ABC=90°以AB为直径的圆O交AC于点E,点D是BC边的中点,连接DE.1.求证:DE与圆O相切.2._数学解答

△ABC是直角三角形,∠ABC=90°以AB为直径的圆O交AC于点E,点D是BC边的中点,连接DE.
1.求证:DE与圆O相切.
2.若圆O的半径为根号3,DE=3,求AE.

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解答

连接OE、BE.
△BCE中,DE是斜边上的中线,得DE=BD=CD,
所以角C=角CED.
△AOE中,角A=角AEO；
又因为角A+角C＝90°,
所以角AEO+角CED＝90° .
所以角OED＝90°.
所以DE与圆O相切.
Rt△ABC中,AB=2倍根号3,BC＝2DE＝6.
所以角A=60°.
所以△AEO是等边三角形,AE=根号3.