there（表语） is（系动词） evidence（主语） that the Bill and Melinda Gates Foundation's programs to reduce newborn deaths are starting to make progress（同位语从句）
我再把同位语从句划分
the Bill and Melinda Gates Foundation's programs to reduce newborn deaths （主语,不过加了不定式做后置定语）are starting（谓语） to make progress（宾语）
【注】,这里的there be 句型是倒装结构.因而表语到前面去了.
还有that加的也是正确的,后面的句子是完整的,而且是解释说明evidence的,因而是同位语从句,语法完整语义也完整因而用连接代词that.