已知平面上一定点C(2,0)和直线l:x=8,P为该平面上一动点,作PQ⊥l,垂足为Q,且(PC向量+1/2PQ向量)•(PC向量-1/2PQ向量)=0.
(1)求动点P的轨迹方程.
(2)若EF为圆N:x^2+(y-1)^2=1的任一条直线,求PE向量•PF向量的最值.
人气:355 ℃ 时间:2020-03-27 16:00:26
解答
已知坐标平面上一定点C(2,0)和直线l:x=8,P为该平面上一动点,作PQ⊥l,垂足为Q,且(PC+(1/2)PQ)•(PC-(1/2)PQ)=0.(1)求动点P的轨迹方程.(2)若EF为圆N:x²+(y-1)²=1的任一条直线,求PE向量•P...谢谢哦,我就是第二问做不来啊。第二问是:(2)若EF为过圆N:x^2+(y-1)^2=1圆心的任一条直线,求PE向量•PF向量的最值。(2)若EF为过圆N:x^2+(y-1)^2=1圆心的任一条直线,求PE向量•PF向量的最值。E,F应改该在园上吧?那么EF就是直径。把园的方程改成参数形式:x=cost,y=1+sint;把椭圆方程也改写成参数形式:x=4cosθ,y=2(√3)sinθ;因为EF是直径,故可设E(cost,1+sint);F(cos(π+t),1+sin(π+t))=(-cost,1-sint);P在椭圆上,故P(4cosθ,2(√3)sinθ);于是:PE=(cost-4cosθ,1+sint-2(√3)sinθ);PF=(-cost-4cosθ,1-sint-2(√3)sinθ);于是:PE•PF=(cost-4cosθ)(-cost-4cosθ)+[1+sint-2(√3)sinθ][1-sint-2(√3)sinθ]=(-cos²t+4cosθcost-4cosθcost+16cos²θ)+[1-sin²t-2(√3)sinθ(1-sint)-2(√3)sinθ(1+sint)+12sin²θ]=16cos²θ-4(√3)sinθ+12sin²θ=12+4cos²θ-4(√3)sinθ=12+4(1-sin²θ)-4(√3)sinθ=-4sin²θ-4(√3)sinθ+16=-4(sin²θ+(√3)sinθ)+16=-4[(sinθ+(√3)/2)²-3/4]+16=-4[sinθ+(√3)/2]²+19故当sinθ=-(√3)/2,即θ=-π/3或π+π/3=4π/3时,PE•PF获得最大值19;当sinθ=1,即θ=π/2时,PE•PF获得最小值-4[1+(√3)/2]²+19=12-4√3.
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