∵一次函数y=kx+2经过点（1，1），
∴1=k+2，
解得，k=-1；
∴一次函数的解析式为y=-x+2，其图象如图所示：
则该函数y随x的增大而减小，且该函数图象不经过原点和第三象限；
故选B．