（1）∵ 点B(-2,m)在直线y=-2x-1上,
∴ m=-2×(-2)-1=3.
∴ B(-2,3)
∵ 抛物线经过原点O和点A,对称轴为x=2,
∴ 点A的坐标为(4,0) .
设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4).
将点B(-2,3)代入上式,得3=a(-2-0)(-2-4),∴.
∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为 ,即 .
（2）①直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D(0,-1) E(2,-5).
过点B作BG‖x轴,与y轴交于F、直线x=2交于G,
则BG⊥直线x=2,BG=4.
在Rt△BGC中,BC= .
∵ CE=5,
∴ CB=CE=5.
②过点E作EH‖x轴,交y轴于H,
则点H的坐标为H(0,-5).
又点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1),
∴ FD=DH=4,BF=EH=2,∠BFD=∠EHD=90°.
∴ △DFB≌△DHE （SAS）,
∴ BD=DE.
即D是BE的中点. …………………
（3）存在.
由于PB=PE,∴ 点P在直线CD上,
∴ 符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点.
设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b.
将D(0,-1) C(2,0)代入,得 . 解得 .
∴ 直线CD对应的函数关系式为y= x-1.
∵ 动点P的坐标为(x, ),
∴x-1= .
解得, .∴, .
∴ 符合条件的点P的坐标为( , )或( , ).