求过一点(1,-1)的曲线,使其上任意一点处的切线夹于两坐标轴向的线段被切点平分
人气:458 ℃ 时间:2020-01-27 22:45:37
解答
设该曲线的切点为(x,y),那么根据中点坐标公式,很容易求得切线与x轴,y轴的交点分别是(2x,0),
(0,2y),所以切线斜率为k=-y/x,由于曲线切线斜率k=dy/dx,所以可以得到微分方程为
dy/dx=-y/x,用微分法求解这个方程:
整理得xdy+ydx=0,即d(xy)=0,积分,得xy=C(C为任意常数),由于曲线过(1,-1),把此点代入,可求出C=-1,所以这个曲线的方程为xy=-1,即y=-1/x
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