[微积分][微分中值定理][证明题]设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,且有f(1)=2f(0).证明:在(0,_数学解答

[微积分][微分中值定理][证明题]
设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,且有f(1)=2f(0).
证明:在(0,1)上至少存在一点x,使得(1+x) f ' (x) = f(x)

人气：142 ℃　时间：2020-06-12 18:40:47

解答

设g(x)=f(x)/(1+x)则g(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导且：g(0)=f(0),g(1)=f(1)/2,由条件知：g(0)=g(1)因此由罗尔定理,存在x∈(0,1),使得g'(x)=0即：[f(x)/(1+x)]' = 0[(1+x)f '(x) - f(x)] / (1+x)^2 = 0因此：(1+x)f '(...