（1）证明：连接OD，BD．
∵D是圆上一点
∴∠ADB=90°，∠BDC=90°
则△BDC是Rt△，且已知E为BC中点，
∴∠EDB=∠EBD．
又∵OD=OB且∠EBD+∠DBO=90°，
∴∠EDB+∠ODB=90°．
∴DE是⊙O的切线．
（2）连接OD，BD，AE，OE，
∵∠EDO=∠ABC=90°，
若要AOED是平行四边形，则DE∥AB，D为AC中点，
又∵BD⊥AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
所以当∠CAB为45°时，四边形AOED是平行四边形．