如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，CD=6cm，
AD+DE+AE=19cm，
根据平行四边形的判定可知，四边形BCDE为平行四边形，
∴BA=CD=6cm，
∴BE+BC+CD+DE=AB+AE+DE+CD+AD=6+6+19=31cm，
即梯形周长为31cm；
故选：A．