A、当二次项系数a=0时，方程不是一元二次方程，故本选项错误；
B、原方程可化为：（a-1）x²+x+1=0，当a-1=0，即a=1时，原方程不是一元二次方程，故本选项错误；
C、原方程不是整式方程，故不是一元二次方程，故本选项错误；
D、由于a²+1＞0，故原方程是一元二次方程，故本选项正确．
故选D．