令Bc=a,AC=b,AB=c,三角形面积为S
则三个矩形的周长为2(a+ha),2(b+hb),2(c+hc)
所以只要比较a+ha,b+hb,c+hc即a+2s/a,b+2s/b ,c+2s/c的大小
作差
a+2s/a-(b+2s/b)=a-b+2s(b-a)/ab=(a-b)/ab *(ab-2s)
由于是锐角三角形,所以ab>aha=2s.所以ab-2s>0
而由题意a>b>c
所以有a+ha>b+hb>c+hc
所以
以AB为底过点C所作的矩形周长最小