f(x)=asinωx+bcosωx+1=√(a^2+b^2)sin(ωx+θ)+1
周期为π
则2π/|ω|=π,ω＞0
所以ω=2
f(x)的最大值为4
所以√(a^2+b^2)+1=4
故a^2+b^2=9.(1)
f(π/6)=(3√3)/2+1
所以f(π/6)=asin(π/3)+bcos(π/3)+1=(√3/2)*a+b/2+1=(3√3)/2+1.(2)
解方程组(1)(2)得a=3,b=0或a=3/2,b=3√3/2
因为ab≠0
所以a=3/2,b=3√3/2
由前面有：
f(x)=3sin(2x+π/3)+1
令f(x)=3sin(2x+π/3)+1=0
得2x+π/3=2kπ+arcsin(-1/3)或2x+π/3=2kπ+π-arcsin(-1/3)
所以x=kπ-π/6-arcsin(1/3)/2或x=kπ+π/3+arcsin(1/3)/2
因为α≠β+kπ(k∈z),且α、β是方程f(x)=0的两个根
可以取α=5π/6-arcsin(1/3)/2,β=π/3+arcsin(1/3)/2
所以tan(α+β)=tan(5π/6+π/3)=tan(7π/6)=tan(π/6)=√3/3