f(x)=e^(-1/x²) ,求f'(0)
f '(x)=[e^(-1/x²)](-1/x²)'=[e^(-1/x²)](2/x³)=(x⁻³)/[2e^(1/x²)]
x→0limf '(x)=x→0lim(-3x⁻⁴)/[2e^(1/x²)(-2/x³)]
=x→0lim(3x⁻¹)/[4e^(1/x²)]
=x→0lim(-3x⁻²)/[4e^(1/x²)(-2/x³)]
=x→0lim(3x)/[8e^(1/x²)]
=0
即f '(0)无定义,但极限存在,可重新定义f '(0)=x→0limf '(x)=0.可以的。因为x→0limf(x)=x→0lime^(-1/x²)=0，所以可以定义f(0)=0.但即使这样处理了，用导数的原始定义，仍然无法求得f '(0)。因为f '(0)=△x→0lim[f(0+△x)-f(0)]/△x]=△x→0lim[e^(-1/△x²)/△x]=0/0还是一个不定式，不用其它手段是求不出来的。