方程两边同乘（x+1）（x+2）（x+3）（x+4），
得（x+3）（x+4）+（x+1）（x+4）+（x+1）（x+2）=（x+1）（x+2）（x+3），
∴3x²+15x+18=（x+1）（x+2）（x+3），
∴3（x+2）（x+3）=（x+1）（x+2）（x+3），
∴3（x+2）（x+3）-（x+1）（x+2）（x+3）=0，
∴（x+2）（x+3）（3-x-1）=0，
∴x₁=-2，x₂=-3，x₃=2．
经检验，x₁=-2，x₂=-3不是原方程的根，x₃=2是原方程的根．
故原方程的解为x=2．
故答案为2．