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数学
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已知圆A:x
2
+y
2
+2x+2y-2=0,若圆B平分圆A的周长,且圆B的圆心在直线l:y=2x上,求满足上述条件的半径最小的圆B的方程.
人气:344 ℃ 时间:2020-01-09 06:26:39
解答
设圆B的半径为r,∵圆B的圆心在直线l:y=2x上,∴圆B的圆心可设为B(t,2t);
圆A的方程变成:(x+1)
2
+(y+1)
2
=4,圆心A(-1,-1),设圆A,圆B交于C,D两点,∵圆B平分圆A的周长,∴圆心A在CD上,如下图所示:
连接BA,BC,则△ABC是直角三角形,|BC|=r,|AC|=2;
∴(t+1)
2
+(2t+1)
2
+4=r
2
,整理得:
r
2
=5
t
2
+6t+6=5(t+
3
5
)
2
+
21
5
;
∴
t=−
3
5
时,
r
2
最小,r最小
,此时圆心B
(−
3
5
,−
6
5
)
,半径r=
21
5
;
∴圆B的方程为
(x+
3
5
)
2
+(y+
6
5
)
2
=
21
5
.
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