已知a,b,c是一个三角形的三边,求证a四次方+b四次方+c四次方-2a平方b平方-2b平方c平方-2c平方a平方的值恒负
人气:462 ℃ 时间:2019-08-19 15:40:57
解答
a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2
=a^4+b^4-2a^2b^2-2b^2c^2+2c^2a^2+c^4-4c^2a^2
=(a^4+b^4-2a^2b^2)+2c^2(a^2-b^2)+c^4-4c^2a^2
=(a^2-b^2)^2+2c^2(a^2-b^2)+c^4-4c^2a^2
=(a^2-b^2+c^2)^2-4c^2a^2
=(a^2-b^2+c^2)^2-(2ca)^2
=(a^2-b^2+c^2+2ca)(a^2-b^2+c^2-2ca)
=[(a+c)^2-b^2][(a-c)^2-b^2]
=(a+c+b)(a+c-b)(a-c+b)(a-c-b)
显然,a+c+b>0,a+c-b>0,a-c+b>0,a-c-b<0
故原式的值一定小于0
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