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数学
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若关于x的方程x
4
+ax
3
+ax
2
+ax+1=0有实数根,则实数a的取值范围为______.
人气:359 ℃ 时间:2019-08-20 04:48:35
解答
关于x的方程x
4
+ax
3
+ax
2
+ax+1=0有实数根x≠0,
两边除以x
2
,得x
2
+
1
x
2
+a(x+
1
x
)+a=0,(1)
设y=x+
1
x
,则|y|=|x|+
1
|x|
≥2,
(1)变为 y
2
-2+ay+a=0,有根
分离变量得a=
2−
y
2
y+1
=
1
y+1
+1-y,
在y≥2,或y≤-2时,a是减函数,
当y=2时,a=-
2
3
;当y=-2时,a=2.
∴a≤-
2
3
,或a≥2.
则实数a的取值范围为
(−∞,−
2
3
]∪[2,+∞)
.
故答案为:
(−∞,−
2
3
]∪[2,+∞)
.
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