已知z为复数，z+2i和z2−i均为实数，其中i是虚数单位．（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限_数学解答

已知z为复数，z+2i和

2−i

均为实数，其中i是虚数单位．
（Ⅰ）求复数z；
（Ⅱ）若复数（z+ai）²在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．

人气：132 ℃　时间：2020-01-29 23:03:00

解答

（Ⅰ）设复数z=a+bi（a，b∈R），
由题意，z+2i=a+bi+2i=a+（b+2）i∈R，
∴b+2=0，即b=-2．
又

2−i

＝

(a+bi)(2+i)

＝

2a−b

2b+a

i∈R，
∴2b+a=0，即a=-2b=4．∴z=4-2i．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知z=4-2i，
∵（z+ai）²=（4-2i+ai）²=[4+（a-2）i]²=16-（a-2）²+8（a-2）i
对应的点在复平面的第一象限，
∴

16−(a−2)2＞0

8(a−2)＞0

解得a的取值范围为2＜a＜6．