已知△ABC中,AB=BC=1,∠ABC=90°,把一块有30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上,将△DEF绕D逆_其他解答

已知△ABC中,AB=BC=1,∠ABC=90°,把一块有30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上,将△DEF
绕D逆时针旋转（1）在图一中,DE交AB于M,DF交BC于N①证明DM=DN.②在旋转过程中,△DEF与△ABC的重叠部分为四边形BMND.请说明DMBN的面积是否发生变化?如果发生变化,是如何变化?若不发生变化,求出其面积.（2）继续旋转至如图二位置,延长AB交DE于M,延长BC交DF于N.DM=DN是否依然成立?若成立,请给出证明；若成立,请说明理由（3）继续旋转至图三位置,延长FD交BC于N,延长ED交AB于N.DM=DN是否依然成立?（最好给出理由）

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解答

①连接BD,
∵AB=BC ∠ABC=90°
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴∠A=∠C=45°
∵D是AC的中点
∴BD是△ABC的中线
∴BD是△ABC的高
∴∠BDC=90°
∴∠DBC=45°=∠DCB
∴BD=CD=AD
∴∠DBC=∠DAB=45°
∵∠EDF=90°=∠ADB ∠EDB为公共角
∴∠ADM=∠BDN
∴△ADM≌△BDN(ASA)
∴DM=DN.
②四边形DMBN的面积不发生变化,理由如下：
由①可知S△ADM=S△BDN
∴S四边形DMBN=S△ADB
已知△ADB的面积是一个定值
∴四边形DMBN的面积不发生变化
∵AB=AC=1,S△ADB=1/2S△ABC
∴S四边形DMBN=S△ABD=1/2S△ABC=1/4